Nacido en La Vila Joiosa (Alicante) en 1907, Julio Cuenca Garrigós, conocido futbolísticamente como Cuenca, fue un jugador alicantino que desarrolló su trayectoria durante la década de 1930, en una época marcada por la consolidación del fútbol profesional español y la posterior interrupción de las competiciones a causa de la Guerra Civil. Sus primeros registros conocidos lo sitúan en el Hércules FC, al que perteneció durante las temporadas 1933-34 y 1934-35. En esta última campaña disputó nueve partidos oficiales de Segunda División y anotó un gol, formando parte de la plantilla que consiguió el histórico ascenso del conjunto alicantino a Primera División. En la temporada 1935-36 se incorporó al Recreativo de Granada, con el que participó en dos encuentros de Segunda División antes de que el estallido de la Guerra Civil española interrumpiera su carrera deportiva.

Finalizada la contienda, Cuenca regresó a Valencia en 1939 y se incorporó a la extensa plantilla de futbolistas que participaron en la reconstrucción del Valencia CF, una entidad que trataba de recuperar la normalidad deportiva después de tres años de guerra. Durante aquel complicado verano, el entrenador Ramón Encinas tuvo que evaluar a numerosos jugadores para confeccionar un equipo competitivo de cara a la temporada 1939-40. Cuenca participó en tres encuentros amistosos con la camiseta valencianista, en los que consiguió marcar dos goles, demostrando su capacidad ofensiva y aprovechando las oportunidades que recibió. Sin embargo, la llegada de nuevos futbolistas procedentes del Recuperación de Levante, especialmente la irrupción de Edmundo Suárez, «Mundo», que terminaría convirtiéndose en uno de los grandes goleadores de la historia del Valencia CF, redujo considerablemente sus posibilidades de encontrar un sitio en la plantilla. Pese a sus buenas cifras durante el periodo de prueba, Encinas decidió finalmente prescindir de sus servicios, por lo que Cuenca abandonó el club sin llegar a disputar encuentros oficiales.

Tras su breve experiencia en Mestalla, Cuenca fichó por el Alicante FC, con el que regresó a la competición nacional durante la temporada 1939-40. En el conjunto alicantino disputó 11 partidos de Segunda División, todos ellos como titular y completando los 990 minutos, aunque no consiguió marcar ningún gol. Sumando sus etapas en Hércules, Recreativo de Granada y Alicante, los registros estadísticos disponibles le atribuyen 22 partidos oficiales de Segunda División y un gol, además del título de campeón de la categoría y el ascenso a Primera conseguido con el Hércules en 1935. Su vinculación con el Valencia CF quedó limitada a aquella pretemporada de 1939, pero su nombre forma parte de la historia de uno de los momentos más difíciles y decisivos de la entidad: la reconstrucción deportiva después de la Guerra Civil, cuando decenas de futbolistas buscaron una oportunidad para vestir la camiseta blanquinegra y contribuir al renacimiento de un equipo que, apenas dos años después, comenzaría a conquistar los primeros grandes títulos nacionales de su historia.